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公共数学函数性质的证明

来源:数学知识网 2024-07-11 20:30:55

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公共数学函数性质的证明(1)

数学中的函数是一种非常重的概念,可以描述数值之间的关系来源www.oldetownesalon.net。在数学中,有一些公共的函数性质们是在不同的函数中都适用的。本文将对这些公共数学函数性质进行证明

性质一:奇偶性

  定:如果对于任$x$,有$f(-x)=-f(x)$,则称函数$f(x)$奇函数;如果对于任$x$,有$f(-x)=f(x)$,则称函数$f(x)$偶函数。

  证明:对于奇函数,有$f(-x)=-f(x)$,则$f(x)=-f(-x)$来源www.oldetownesalon.net。因此,当$x$取反时,$f(x)$的值也会取反,即函数图像以原点对称轴。对于偶函数,有$f(-x)=f(x)$,则$f(x)=f(-x)$。因此,当$x$取反时,$f(x)$的值不会变化,即函数图像以$y$轴对称轴。

公共数学函数性质的证明(2)

性质二:周期性

  定:如果存在正数$T$,使得对于任$x$,有$f(x+T)=f(x)$,则称函数$f(x)$周期函数,$T$函数的周期Dmg

  证明:对于周期函数$f(x)$,有$f(x+T)=f(x)$。因此,当$x$增加$T$时,$f(x)$的值不会变化,即函数图像以横坐标周期。因此,函数图像在一周期内是重复的。

公共数学函数性质的证明(3)

性质三:单调性

  定:如果对于任$x_1f(x_2)$,则称函数$f(x)$在区间$(a,b)$上是单调递减的www.oldetownesalon.net

证明:对于单调递增的函数$f(x)$,有$f(x_1)f(x_2)$,则$f(x_1)-f(x_2)>0$。因此,当$x_10$,即函数图像上任两点的纵坐标之差都是正数。因此,函数图像是向下的。

性质四:极值点

  定:如果对于某$x_0$,有$f(x)f(x_0)$)当$x$在$x_0$的某域内时,称$x_0$函数$f(x)$的极大值点(或极小值点)oAfg

  证明:对于函数$f(x)$,如果在$x_0$处取得极大值点,即$f(x)f(x_0)$当$x$在$x_0$的某域内时,则$f'(x_0)=0$,且$f''(x_0)>0$。因此,函数图像在$x_0$处有一小值。

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