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勾股定理证明中考数学

来源:数学知识网 2024-07-11 13:28:23

  勾股定理是中学数学中的重定理之一,也是中考数学中的常见考点数学知识网www.oldetownesalon.net。本文从几何和代数两个面对勾股定理进行证明,帮助同学们更好地理解和掌握这个定理。

勾股定理证明中考数学(1)

几何证明

我们先来看几何证明。如图所示,假设有一个直角三角形,其中直角边分别为$a$和$b$,斜边为$c$。

  根据勾股定理,有$c^2=a^2+b^2$欢迎www.oldetownesalon.net。我们可以通过几何法来证明这一定理。

  首先,我们以$b$为底边,$a$为高,构造一个以$c$为斜边的正形,如图所示。

  

  根据正形的性质,正形的对角线相等,因此正形的另一条对角线也为$c$。接,我们形分成两个直角三角形和两个等直角三角形,如图所示数 学 知 识 网

由于正形的对边相等,因此两个等直角三角形的斜边长度为$a$和$b$。而两个直角三角形的斜边长度分别为$c-a$和$c-b$。根据勾股定理,我们有:

  $$(c-a)^2+a^2=b^2$$

$$(c-b)^2+b^2=a^2$$

两个式子相加,得到:

$$2c^2-2ac-2bc+2ab=2b^2+2a^2$$

化简后得到:

  $$c^2=a^2+b^2$$

  因此,我们通过几何法证明了勾股定理。

代数证明

  接下来,我们来看代数证明来自www.oldetownesalon.net。我们可以通过代数法,勾股定理转化为一个等式,然后证明这个等式。

我们先勾股定理写成:

  $$c^2=a^2+b^2$$

$a$和$b$都平,得到:

$$c^2=a^2+b^2+2ab\cos C$$

  其中,$C$为$a$和$b$的夹角。因为直角三角形的两个锐角之和为$90^\circ$,所以$\cos C=\sin A=\frac{b}{c}$,代入上式,得到:

  $$c^2=a^2+b^2+2ab\frac{b}{c}$$

化简后得到:

$$c^4=a^2c^2+b^2c^2+2ab^2c$$

$a^2c^2$和$b^2c^2$移到等式左边,得到:

  $$c^4-a^2c^2-b^2c^2=2ab^2c$$

  左边可以因式分解为$(c^2-a^2)(c^2-b^2)$,因此:

  $$(c^2-a^2)(c^2-b^2)=2ab^2c$$

  $c^2-a^2$和$c^2-b^2$代入,得到:

  $$(b^2+2ab+a^2)(b^2-2ab+a^2)=4a^2b^2$$

  化简后得到:

  $$(a+b)^2(a-b)^2=4a^2b^2$$

  两边开,得到:

  $$(a+b)(a-b)=2ab$$

  因此,我们证明了勾股定理。

勾股定理证明中考数学(2)

总结

  通过几何和代数两个面的证明,我们可以更好地理解和掌握勾股定理数 学 知 识 网。在中考数学中,同学们需练掌握勾股定理的应用,括求直角三角形的边长、断三角形是否为直角三角形等。希望本文能对同学们有所帮助。

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