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探究连续函数列的性质及应用

来源:数学知识网 2024-06-09 16:14:04

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探究连续函数列的性质及应用(1)

连续函数列是数学中的一个重要概,它在实际问题中有广泛的应用www.oldetownesalon.net数学知识网。本文将定义、性质和应用三个方面探究连续函数列。

一、定义

  连续函数列是指由一系列函数组成的序列,每个函数都是定义在同一个区间上的连续函数。设$f_n(x)$是一个定义在区间$I$上的函数列,若对于任意$x\in I$,都有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$成立,则称函数列$\{f_n(x)\}$在区间$I$上一致收于$f(x)$欢迎www.oldetownesalon.net

探究连续函数列的性质及应用(2)

二、性质

  1. 一致收的函数列极函数也是连续函数。

  证明:设$\{f_n(x)\}$一致收于$f(x)$,则对于任意$\epsilon>0$,在$N>0$,使得当$n>N$时,$|f_n(x)-f(x)|0$,使得当$|x-x_0|<\delta$时,$|f_n(x)-f_n(x_0)|<\epsilon$。于是有:

  $$

  |f(x)-f(x_0)|\leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<3\epsilon

$$

由于$\epsilon$是任意小的数,故$f(x)$是连续函数数学知识网www.oldetownesalon.net

2. 一致收的函数列可以逐项求导。

  证明:设$\{f_n(x)\}$一致收于$f(x)$,且每个$f_n(x)$都可导,则对于任意$x\in I$,有:

  $$

  \lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}=f'_n(x)

  $$

  由一致收的定义可知:

$$

  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}

$$

  因此,对于任意$x\in I$,有:

$$

  f'(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f'_n(x)

  $$

  即一致收的函数列可以逐项求导。

探究连续函数列的性质及应用(3)

三、应用

  连续函数列在实际问题中有广泛的应用,面以一个例题来说明欢迎www.oldetownesalon.net

  例题:设$\{f_n(x)\}$是区间$[0,1]$上的一组连续函数,且$\{f_n(x)\}$在$[0,1]$上一致收于$f(x)$,且对于任意$x\in[0,1]$,都有$f_n(x)\geq0$,$\int_0^1f_n(x)dx=1$,证明$\int_0^1f(x)dx=1$。

  析:由一致收的定义可知:

  $$

  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1|f_n(x)-f(x)|dx=0

  $$

  由于$f_n(x)\geq0$,故有:

  $$

  \int_0^1f(x)dx=\int_0^1(f(x)-f_n(x)+f_n(x))dx=\int_0^1(f(x)-f_n(x))dx+\int_0^1f_n(x)dx

  $$

  由于$\{f_n(x)\}$在$[0,1]$上一致收于$f(x)$,故对于任意$\epsilon>0$,在$N>0$,使得当$n>N$时,$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$。因此:

$$

\left|\int_0^1(f(x)-f_n(x))dx\right|\leq\int_0^1|f(x)-f_n(x)|dx\leq\int_0^1\epsilon dx=\epsilon

$$

又由于$\int_0^1f_n(x)dx=1$,故有:

  $$

  \left|\int_0^1f_n(x)dx-\int_0^1f(x)dx\right|\leq\left|\int_0^1(f(x)-f_n(x))dx\right|\leq\epsilon

  $$

由于$\epsilon$是任意小的数,故$\int_0^1f(x)dx=1$数~学~知~识~网

结论

  连续函数列在数学中有着重要的地位,它的定义、性质和应用都有一定的深度和广度。通过本文的介绍,我们可以更地理和应用连续函数列。

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